HTTP://ALMACIENCIA.BLOGSPOT.COM/ - SÁBADO, 15 DE MAIO DE 2010

Calculando distâncias inacessíveis com triângulos semelhantes

Prof. Especialista: Lindberg Barbosa Lira de Almeida efetivo do Dept. de Matemática da FAMASUL -Palmares/PE. Graduado em Licenciatura Plena em Ciências com Habilitação em Matemática e Pós-Graduado no Ensino de Matemática pela FAMASUL - Faculdade de Formação de Professores da Mata Sul – FAMASUL.

A possibilidade do cálculo de distâncias inacessíveis se dá normalmente com o uso das razões trigonométricas, embora a idéia geral envolvida na questão é a de semelhança de triângulos, uma vez que as razões são apenas nomes dados aos quocientes obtidos entre pares de lados homólogos de triângulos retângulos semelhantes.

Triângulos; semelhanças; razões.

Calculando o raio da Terra

Um processo utilizado há muito tempo pelos gregos para medir o raio (r) da Terra consistia num observador posicionado no alto de uma torre de altura (h) observando a linha do horizonte num ponto fixo (A) formando assim um ângulo de observação (θ) e o triângulo ABC (figura 1) retângulo em A (propriedade da tangente). Tal processo tornava possível a determinação de um triangulo DEF (figura 2); semelhante ao triângulo ABC através do caso de semelhança de triângulos: AA, uma vez que se conhecia dois ângulos no triângulo ABC (90º e θ); cujos lados seriam proporcionais aos do triângulo ABC, o que permitia escrever r em função de d, e e h que são medidas acessíveis.



Assim os gregos concluíam que:
r . d = e . (r + h)
r . d = e . r + e . h
r . d – e . r = e . h
r . (d – e) = e . h


Obviamente podemos recorrer a razão trigonométrica seno (cateto oposto dividido por hipotenusa) e a tabela trigonométrica, obtendo o mesmo resultado de forma mais rápida se tornando essa forma de cálculo bem mais prática no caso de um experimento concreto. Assim fazendo = sen θ, temos :

θ
r = sen θ . (r + h)
r = r . sen θ + h . sen θ
r – r . sen θ = h . sen θ
r .(1 – sen θ) = h . sen θ



Percebemos assim a relação entre semelhança de triângulos e razões trigonométricas no triângulo retângulo como sendo a segunda um caso particular importantíssimo da primeira.

Agradecimentos

Profª.: Manuela Góes Barreto (Dept.º Formação Pedagógica - FAMASUL - Palmares/PE) que deu todo suporte metodológico necessário a montagem deste artigo .


Referências Bibliográficas

1. CARMO, Manfredo Perdigão do. MORGADO, Augusto César. WAGNER, Eduardo. Trigonometria Números Complexos. Coleção do Professor de Matemática, 1992. SBM, IMPA e VITAE.

2. IEZZI, Gelson – Fundamentos de Matemática Elementar, volume 9 : Geometria Plana. 7ª Edição – São Paulo, Editora Atual, 1993. ISBN 85 – 7056 - 269 – 1.

A importância da lógica nas demonstrações matemáticas

Prof. Especialista: Lindberg Barbosa Lira de Almeida efetivo do Dept. de Matemática da FAMASUL -Palmares/PE. Graduado em Licenciatura Plena em Ciências com Habilitação em Matemática e Pós-Graduado no Ensino de Matemática pela FAMASUL - Faculdade de Formação de Professores da Mata Sul – FAMASUL.

A lógica matemática é o instrumento utilizado na construção do conhecimento cientifico nas diversas áreas do saber humano, apresentada na maioria das vezes de forma intuitiva; noutras utilizando-se de todo o rigor matemático - quando é mal compreendida ou interpretada de forma incorreta pela falta de conhecimento específico do assunto, deixando grandes dúvidas ou dilemas referentes à área de conhecimento em questão. O texto a seguir esclarece os princípios e operações básicas da lógica utilizados em demonstrações matemáticas.

Lógica; princípios; operações; demonstrações.

O desenvolvimento de uma teoria matemática

A criação de certos tipos de conjuntos e teorias matemáticas durante muito tempo dependeu diversas vezes única e exclusivamente das necessidades dos povos, tal processo de criação foi chamado de processo sintético. Desenvolvida a teoria pelo processo sintético, os matemáticos sentiam a necessidade de eliminar dessa teoria causas estranhas à matemática e reconstruir a teoria somente com recursos da Lógica e sem nenhuma influência externa. Tal processo foi denominado processo analítico ou axiomático, que apresenta o seguinte “esqueleto”:

Uma teoria desenvolvida axiomaticamente é formada por: noções não definidas ou entes primitivos, definições, proposições* não demonstradas ou axiomas e proposições demonstradas.

As proposições demonstradas são chamadas de teoremas podendo esses ser unidos a outras proposições, definições e/ou entes primitivos formando assim novas proposições que podem ser demonstradas, isto é, novos teoremas. Esquematicamente podemos representar o desenvolvimento de uma teoria como um encadeamento lógico (corrente) iniciada necessáriamente por proposições não demonstradas:

Ex.: Geometria Euclidiana:

• ponto, reta e plano são as noções não definidas ou entes primitivos;
• segmento de reta, semi-reta, segmentos colineares, ângulo, triângulo, circunferência, etc., são as definições;
• postulados da existência, determinação, inclusão, etc., são as proposições não demonstradas;
• teorema do ângulo externo de um triangulo, teorema da desigualdade triangular, , teorema de Tales, teorema de Pitágoras, etc., são as proposições demonstradas.

Ex.: Mecanica Newtoniana:

• tempo, distância e massa são as noções não definidas ou entes primitivos;
• velocidade, aceleração, movimento uniforme, etc.; são as definições;
• “não há movimento nem repouso absolutos” é um exemplo de proposição não demonstrada;
• função horária do espaço do movimento uniforme: s = s₀ + v.t , função horária do espaço do movimento uniformemente variado: s = s₀ + v₀ . t + (a.t²)/2 , etc., são as proposições demonstradas ou teoremas.

Assim a lógica, sendo o ramo da filosofia que define leis corretas para o raciocínio ou regras do pensar correto, é de fundamental importância no desenvolvimento de uma teoria matemática, seja no seu encandeamento lógico, bem como nas demontrações de suas proposições. Entre as leis ou princípios da lógica destacam-se:

• lei da não contradição: uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo;
• lei do terceiro excluído: uma proposição só pode ser verdadeira ou falsa nunca um terceiro caso.

Baseado nesses princípios podemos definir proposições como sentenças declarativas às quais se pode atribuir um valor lógico – verdadeiro ou falso. Representamos uma proposição com letras minúsculas e o seu valor lógico(VL) com as letras V (para verdadeiro) e F(para falso). Chamamos de operações lógicas as operações envolvendo proposições, nas quais o valor lógico da proposição composta, resultante da operação, depende dos valores lógicos individuais de cada uma das proposições envolvidas. As principais operações lógicas são:

• Conjunção (operador: , lê-se : e)

Uma proposição composta do tipo (p q) só tera VL = V caso VLp = V e VLq = V, em outra hipótese teremos VL(p q) = F.

• Disjunção (operador: , lê-se : ou)

Uma proposição composta do tipo (p q) só tera VL = F caso VLp = F e VLq = F, em outra hipótese teremos VL( p q ) = V.

• Disjunção exclusiva (operador: , lê-se : ou p ou q)

Uma proposição composta do tipo (p q) só tera VL = F caso VLp = VLq = V ou VLp = VLq = F, em outra hipótese teremos VL(p q) = V.

• Condicional (operador: , lê-se : se p então q)

Uma proposição composta do tipo (p q) só tera VL = F caso VLp = V e VLq = F , em outra hipótese VL(p q) = V.

• Bicondicional (operador: , lê-se : p se e somente se q)

Uma proposição composta do tipo (p q) só tera VL = V caso VLp = VLq = V, em outra hipótese VL(p q) = F.

• Negação (operador: ~, lê-se: não)

Uma proposição do tipo ~p só tera VL= F caso VLp=V e terá VL = V caso VLp = F.

Utilizando o princípio do terceiro excluído podemos montar as seguinte tabelas que chamamos de tabelas-verdade, pois nos fornecem de forma rápida o valor lógico de uma proposição composta para qualquer que sejam as possibilidades dos valores lógicos de cada proposição componente:

p q p q V V V V F V F V V F F F

p q p q V V V V F F F V F F F F

p q p q V V V V F F F V V F F V

p q p q V V F V F V F V V F F F

p q p q V V V V F F F V F F F V

Exemplo: Consideremos as sequintes proposições:

p: O menor número primo positivo é 2

q: O menor número irracional positivo é

Obviamente a primeira proposição é verdadeira e a segunda é falsa. Então:

p q (O menor número primo positivo é 2 e o menor número irracional positivo é ) é falsa.

p q (O menor número primo positivo é 2 ou o menor número irracional positivo é ) é verdadeira.

p q (Ou o menor número primo positivo é 2 ou o menor número irracional positivo é ) é verdadeira. p q (Se o menor número primo positivo é 2 então o menor número irracional positivo é ) é falsa.

p q (O menor número primo positivo é 2 se e somente se o menor número irracional positivo é ) é falsa.

~p (Não é verdade que o menor número primo positivo é 2) é falsa.

~q (Não é verdade que o menor número irracional positivo é ) é verdadeira.

Observações:

1. Definimos como:

• tautologia toda proposição composta que sempre assume o valor lógico V independentemente dos valores lógicos das proposições que a compoe.
• contradição ou proposição contraválida toda proposição composta que sempre assume o valor lógico F independentemente dos valores lógicos das proposições que a compoe.
• contingência toda proposição composta que não seja nem tautologia nem contradição.

Exemplos: ~(p ~p) : é uma tautologia

p ~p : é uma contradição

p : é uma contingência

Pois:

p ~p p ~p ~(p ~p) V F F V F V F V

p ~p p ~p V F F F V F

p ~p p ~p V F F F V V

2. Definimos como:

• Implicação Lógica: toda tautologia resultante da operação condicional.
• Equivalencia Lógica: toda tautologia resultante da operação bicondicional.

Exemplos: Mostre que p q implica logicamente p q. Indica-se: p q p q.

P	q	p q	p q	p q p q
V	V	V	V	V
V	F	F	V	V
F	V	F	V	V
F	F	F	F	V

Mostre que p q equivale logicamente a ~p q. Indica-se: p q ~p q.

p	~p	q	p q	~p q	p q ~p q
V	F	V	V	V	V
V	F	F	F	F	V
F	V	V	V	V	V
F	V	F	V	V	V

3. Definimos como:

• Proposição recíproca de p q : a proposição q p.
• Proposição contrária de p q : a proposição ~p ~q.
• Proposição contrapositiva de p q : a proposição ~q ~p.

Algumas propriedades importantes surgem diretamente da aplicação da definição e implicação e equivalencia lógica e operações são elas:

1ª. p q ~q ~p

2ª. q p ~p ~q

Aplicação dos princípios, operações e propriedades

1. Demonstrar a proposição condicional : p q : Se x² é ímpar, então x é ímpar.

Demonstração:A contrapositiva desta condicional é : ~q ~p: Se x é par, então x² é par.

Pela primeira propriedade podemos realizar a demonstração provando a contrapositiva que equivale logicamente a condicional e bem mais simples de ser demonstrada.

Com efeito, suponhamos x par, isto é, x = 2n(n Z). Como x² = 2n.2n=2.2n², segue-se que x² é par.

2. Provar que o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.

Demonstração: Suponha que o conjunto vazio não seja subconjunto de algum conjunto A, isto é, o conjunto vazio deverá ter pelo menos um elemento pertencente a ele que não pertença ao conjunto A considerado. Absurdo! Pois o conjunto vazio não possui elementos. Logo o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.

3. Provar que:

Se A for um conjunto de números naturais e se:

a) o número 1 pertencer a A;

b) o fato de um número a pertencer a A implicar no seu sucessor também pertencer a A,

então o conjunto A conterá todos os números naturais.

Demonstração: Seja A’ o conjunto dos naturais que não se acham em A. Então bastará provar que A’ é vazio, para demonstrar que A contém qualquer natural.

Seja então A’ = {n,n+1,..........} o conjunto de todos os naturais não pertencentes a A. Seja n o menor deles. Segue-se que n 1, pois caso contrário pertenceria ao conjunto A.

Então, resta-nos que n deve ser maior que 1 (já que o 1 não é sucessor de nenhum outro número) n > 1. Então n – 1 é menor que n e pela construção de A’ (n é o menor elemento) conclui-se que n-1 deve pertencer ao conjunto A (já que é menor que n).

Chamemos de a o número n -1, isto é, a = n – 1, que se acha contido em A.

Ora, se a = n – 1 se acha contido em A, por hipótese o seu sucessor a + 1 = (n – 1) + 1 = n deve estar contido em A também; então n está em A.

Aqui recaímos numa contradição: n se acha no conjunto dos números naturais não contidos em A e n se acha em A. Portanto a hipótese de que A’ continha pelo menos um elemento é falsa, o que implica que A’ ser um conjunto vazio. Logo A contém todos os números natuais.

Essa proposição que acabamos de demonstrar é conhecida como o teorema da induçao matemática, podendo ser estendida e utilizada para provar propriedades relativas a números inteiros.

Com essas aplicações percebemos a importancia da lógica nas demonstrações matemáticas em particular no método utilizado pra demonstrar as duas ultimas proposições conhecido como Demonstração por Contradição ou Redução ao Absurdo que é baseado numa equivalência lógica do tipo ((p (~q)) c) (p q), que pode ser provada facilmente utilizado-se uma tabela verdade.

Agradecimentos

Profª.: Manuela Góes Barreto (Dept.º Formação Pedagógica - FAMASUL - Palmares/PE) que deu todo suporte metodológico necessário a montagem deste artigo .

Referências Bibliográficas

1. ALENCAR FILHO, Edgard de – Iniciação à Lógica Matemática, Livraria Nobel S.A.

2. DOMINGUES, Hygino H. IEZZI, Gelson. Álgebra Moderna, Ed. Atual. 4ª edição. São Paulo, 2006.

3. EVARISTO, Jaime – Introdução à Álgebra Abstrata, Maceió - EDUFAL, 2002.

4. IEZZI, Gelson – Fundamentos de Matemática Elementar, volume 9 : Geometria Plana. 7ª Edição – São Paulo, Editora Atual, 1993. ISBN 85 – 7056 - 269 –

5. OLIVEIRA, Antonio Marmo de. SILVA, Agostinho. Biblioteca da matemática moderna – tomo I. Ed. Lisa. São Paulo, 1980.